ゲーテル不完全性定理

ゲーテル不完全性定理(ゲーテルふかんぜんせいていり)とは、無矛盾な理論において、証明も反証もできない命題が存在すると言う定理である。

これは、証明も反証もできない命題から、それを「真」と仮定したり「偽」と仮定したりして、論理体系を矛盾なく拡張出来る事を示唆しているように見える。命題関数をとりあえずは全単射、命題一つ一つを複素数に対応させて解析、接続する様を今回は見ていきたい。

Wikipedia的ゲーテル不完全性定理

第1不完全性定理

自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。

第2不完全性定理

自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。

準備

正則

ある数学の法則において、都合の良い性質が成り立つ時を(だいたい)正則と言う。

複素解析では、コーシー=リーマンの関係式を満たす事を言う。

今回は、命題の真偽がはっきりしていると言う意味にも使う。

コーシーの積分公式

この式より複素解析の意味での正則(微分可能)と解析的(級数が収束)が複素数平面で、同値である。

正則関数の一致の定理

正則領域で、点列$z_n$が点aに収束する時

$f(z_n)=g(z_n)$である時、

$f(z)≡g(z)$

式の意味は、二つの関数の値は恒等的に等しい。

解析接続

一致の定理から、正則領域で互いに等しい関数$f(z),g(z)$において、$f(z)$の値が定義出来ないとき、値が定義出来る関数$g(z)$を用いて$f(z)$の定義域を広げる計算技術である。一つの連結領域から得られる解析接続は一つである。また、二つの領域の連結領域は一つとは限らない。

リュービルの定理

全複素平面で、有界かつ正則な関数は、定数に限る。

ゲーテル不完全性定理を複素関数とみなしてみる

命題を複素数に対応させられるか怪しいが。

命題関数を$f(z)(z\in \C)$と置き、

真ならば$f(z)=１$

偽ならば$f(z)=0$ となるように$f(z)$を上手く定める。

これは、明らかに有界な関数である。しかも、これはその論理体系が全て「真」または「偽」でない限りに置いて、定数ではない。よってリュービルの定理により正則でない点がある。これを特異点とし、この点を証明も反証もできない命題に対応させる。

第二案

$f(z)$を有界な$(z\in \C)$と置き この時の$f(z)$の値を命題の結論に対応させ、正則である時、真偽が判定出来るものとし、正則でないとき真偽が判定出来ない命題に対応させる。

コーシーの積分公式から、正則である時、$f(z)$の収束値が定められ、$f(z)=a$等と出来る。

値が定められられているので、$=a$なら真$=b$なら偽と言う風に出来る筈である。

先ほどと同様にして、リュービルの定理により正則でない点がある。

正則でないときは特異点となる。この時$f(z)$の値が定義出来ない場合があり、この時を真偽が解らない命題に対応させる訳である。

第三案

多価関数と見なし、命題が真とも偽とも取れる点を分岐点とし、それぞれのリーマン面で、命題が一価と見なせるようにする。

拡張してみる

正則領域で、点列$z_n$が点aに収束する時

$f(z_n)=g(z_n)$であるように上手く命題を複素数に対応させる。

正則でなければ、$f(z_n)=g(z_n)$でなくとも良いのだから、特異点を利用して、解析接続をして関数の定義域を延長するように論理体系を拡張するのである。

即ち、証明も反証もできない命題は、論理体系を拡張するのに持ってこいな、命題(特異点)であるとみなす事が出来るような気がする。

脚注

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