数学的帰納法

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数学的帰納法(すうがくてききのうほう、: mathematical induction)とは、実際には演繹法であるにもかかわらず、一見帰納的操作を行っているかのように見える数学の証明法である。

概要[編集 | hide | hide all]

数学的帰納法は、

  1. 起点となる例(ex. n=1)が条件を満たしていることを確かめる。
  2. ある例が条件を満たしている時(ex. n=i)、続く条件(ex. n=i+1)も例を満たすことを示す。

という方法を基本的な流れとしている証明方法である。

ヴァリエーションとして、2における参照元が前二つの例や全ての以前の例などになっているケースも存在する。

有名な定理[編集 | hide]

ハゲの定理[編集 | hide]

ある人の髪の毛の生えている本数をnとする。

  1. n=0のとき、その人はハゲである。
  2. n=1のとき、その人はハゲである。
  3. i=0とすると、n=iのとき、その人がハゲであると仮定すると、n=i+1のときにもその人はハゲである。
  4. 故に、全ての人はハゲである。

系:数行記事の定理[編集 | hide]

ある記事の行数をnとする。

  1. n=2のとき、その記事は数行記事である。
  2. n=3のとき、その記事は数行記事である。
  3. i=2とすると、n=iのとき、その記事が数行記事であると仮定すると、n=i+1のときにもその記事は数行記事である。
  4. 故に、一行記事以外の全ての記事は数行記事である。

種明かし[編集 | hide]

上二つの定理は、もちろん詭弁である。

本来、値を代入してはならない抽象・一般的な文字数iに、具体的な値を代入してしまっているからである[1]

しかし、数学的帰納法を学びたての学生は、しばしばこのような誤謬を犯すことが知られている。

脚注[編集 | hide]

  1. しかし、皮肉にも、そのことによって真に機能的な推論を行うことに成功している。