栗まんじゅう問題 (自由研究編)

栗まんじゅう問題（くりまんじゅうもんだい）は、ユーモアの百科事典を称するアンサイクロペディアが、その称号に反して糞真面目に科学考察を行っているように見える事象である。

概要

アンサイクロペディアでドラえもん関連（というよりも、ドラえもんに限らず広くアニメ関連）の記事はどちらかと言えば、（最近はユーモア欠乏症として削除が進み少なくなってきたものの）アニメの設定に自分の妄想を付け加えることによって作られる「のび太国系記事」が多い。素直にマンガの設定を述べているような記事でも、その手の妄想が多少なりとも含まれているものである。

しかし、「栗まんじゅう問題」の記事はその点で特殊であり、妄想記事ではなく、研究記事なのである。道具「バイバイン」によって増殖し続ける栗まんじゅうで地球は、宇宙はどうなるのかを糞真面目に研究しているのである。記事内には数式が多用され、物理学や数学の知識を総動員して検討が行われているのである。そして記事内容は増え続け、アンサイクロペディアの全記事の中で上位に入る長いページとなっている。

この通り、「栗まんじゅう問題」の記事は糞真面目な研究記事であり、アンサイクロペディアで必須とされるユーモアを欠いているように見える。しかし、この記事にもユーモアはあるのだ。それは、「栗まんじゅう問題」を考察することが、考えても役に立たないことを考察して時間を無駄にする行為である、ということが当該記事のユーモアのはずである。しかし、考察ガチ勢がさらに物理学や数学の知識を用いて新たな研究成果を次々に追加していったため、そのユーモアの意味が薄まり、人によっては知的好奇心を刺激する記事とも感じられるような記事になったのである。そして今日も考察の分量を増やし続けている。まるで増え続ける栗まんじゅうの如く、と言いたいところではあるが、最近は落ち着いてきているようだ。

よゐこのじゆうけんきゅうこーなーだよっ☆

栗饅頭の個数

準備

複素数列の級数$\sum_{i=1}^{\infty} a_i$が絶対収束するならば、無限積$\prod_{i=1}^{\infty}( 1+a_i)$も収束する。

$\sum_{i=1}^{\infty}|a_i|<{\infty}$を仮定するので、

$S$を有限とし、$S=\sum_{i=1}^{\infty}| a_i|<{\infty}$

$p_n=\prod_{i=1}^{n}(1+a_i)$

$b_1=p_1,b_n=p_n-p_{n-1}={\prod_{i=1}^{n-1}( 1+a_i)}a_n$

$p_n = \sum_{i=1}^{n} b_i,\ b_n = p_{n-1}a_n,x≧0$ ならば$1+x≦e^x$であるから、

$|p_n|≦\prod_{i=1}^{n}(1+ |a_i|) ≦\prod_{i=1}^{n} \exp (|a_i|) = \exp \left(\sum_{i=1}^{n}|a_i|\right)$

$\leq \exp \left( \sum_{i=1}^{\infty}|a_i| \right) = e^S$より、

$|b_n|=|p_{n-1}a_n|≦e^S|a_n|$

となる。

$\sum_{i=1}^{\infty} | b_i | ≦ e^S \sum_{i=1}^{\infty}|a_i| = e^S S$

従って

$\sum_{i=1}^{\infty}b_i$

は絶対収束するから、

$\sum_{i=1}^{n}b_i=p_n=\prod_{i=1}^{n}(1+a_i)$

も収束する。よって示された。

栗饅頭の個数は収束………するかも知れない

栗饅頭の個数は、$2^{\infty}=\prod_{i=1}^{\infty}(1+1)$であるから、

リーマンゼータ関数

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\prod_{p:prime}(1-p^{-s})^{-1}$

から$s=0$を代入した時に、この表示の値に意味はないが、

解析接続を行って定義域を拡張する事により、

$\zeta(0)=-\frac{1}{2}$を得て

$\sum^{\infty}|1|=\sum^{\infty}1=-\frac{1}{2}$

よって、$2^{\infty}=\prod_{i=1}^{\infty}(1+1)$は収束する

参考

余談であるが、自然数と素数の総積はある意味で求まっている。

$\prod_{p:prime}p=4\pi^{2}$

$\lim_{n→\infty}n!=\sqrt{2\pi}$

リウヴィル関数$\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$を用いて

$\prod_{p}(1+p^{-s})^{-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda(n)}{n^{s}} =\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}$

メビウス関数$\mu(n)$を用いて

$\prod_{p}(1-p^{-s})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)} {n^{s}}=\frac{1}{\zeta(s)}$

$\prod_{p}(1+p^{-s})=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{|\mu(n)|}{n^{s }}}=\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$

$s=0$を代入したくなるが、これらの値は括弧内の値を$a$とすると

$a^{\pi(n)}$の値で有ることに注意しなくてはならない｡

$\pi{n}<n$であることは、素数定理より分かる

具体的には、この定理は次の式で表される。

$\pi(x)\sim\operatorname{Li}x$

また、

$\operatorname {li} (x)=\Theta \left({x \over \ln x}\right)$

$\operatorname{\pi }(x)\sim\operatorname{li}(x)\sim \operatorname{Li}(x)$

$\operatorname{Li}(x)=\operatorname{li}(x)-\operatorname{li} (2)$

あるいは

$\operatorname{Li}(x)=\int _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}$

これらから、$n>\pi{x}$が分かる。

ここで$π(x)$は$x$以下の素数の個数であり、 $\operatorname{li}x$は対数積分と呼ばれ、$\operatorname{Li}(x)$は補正対数積分関数であり、$\operatorname{Li}(x)$はオイラーの対数積分とも呼ばれる。

よって三番目の式から得られる栗饅頭の個数は、

$\lim_{n→\infty}\prod^{\pi(n)}(1+1)=\lim_{n→\infty}2^{\pi(n)}$

の値であることが分かり、注意が必要である。

脚注

関連項目

• 鯛焼問題
• 景気のいいケーキ

 

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