積分

出典: 究極の八百科事典『ウソペディア』
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積分(せきぶん、:Integration)とは、パイの大きさを求める手段である。

概要[編集 | hide | hide all]

古代より、パイの大きさは、数学者にとって重要な問題だと考えられていた。正方形長方形、あるいは立方体などの大きさ(面積・体積)は、比較的簡単に導出できるのに対し、を含む平面や立体の体積は、それほど容易に求められるものではない。

ただし、円を正n角形(n→∞)と見立てると、円は、n個の二等辺三角形の和に見立てることができる。この時、円の半径の二乗と、実際の円の面積との比が、ある一定の値に近付くことが、古代から知られていた。このマジックナンバーこそが、パイである。

ピタゴラスは、この点に注目し、を導出したが、この際に用いられた手法を理論化するために生まれたのが、積分である。

パイの探究[編集 | hide]

典型的な円。初版投稿者の撮影力不足で、中心点がピンボケしてしまったが、気にしないでいただきたい。

半径rの円に内接する正n角形と、外接する正n角形とを考える。内接正n角形を構成するn個の合同な二等辺三角形の面積siは、高さが、底辺がであることと、の関係性より、

だから、内接正n角形の面積Siは、

一方、外接正n角形を構成するn個の合同な二等辺三角形の面積soは、高さがr、底辺がであることより、

だから、外接正n角形の面積Soは、

となる。今、円の面積をSとすると、は明らかなので、比率πを用いて、と表すと、

各辺をr2で割って、

ここで、n→∞の極限において、正n角形は円に漸近するから、

特に、とすると、特殊な形

となることが知られている[1]

パイと積分[編集 | hide]

ここで、話を円と正n角形に戻すと、面積は、正n角形の外周×半径×1/2の関係で挟まれているとも言える。そこで、

で割ると、

となる。

この外周を、今度は均等な長さで分割して、このdlと対応する円上の角度によって円の面積を求めることを考える。より、一つの分割部の面積をとすると、

今、を、と定義すると、

ここで、360°=2πとなるような角度単位(ラジアン)を導入すると、この円は、半径rの線分をθ=0からθ=2πまで回転させたものと考えることができるので、a=0,b=2πとなり、

ここで、にr=1を代入すると、

であるから、コンピュータを用いて、様々な力技での計算技法を用いて計算すると、実際のパイの大きさを算出することができる[2]

これが、積分の始まりである。

その後[編集 | hide]

典型的な回転体。軸が斜め向きになってしまったのは、立体感を示すというよりは、使い慣れないペイント3Dで背伸びしたためである。

確かにこの方法でパイの大きさを求めることはできるのだが、かなりめんどくさいやり方だと考え付いたアイザック・ニュートンゴットフリート・ライプニッツらによって、とりあえず長方形や立方体の和として考えればよくない?という発想が生まれ、良く知られる積分形式

が誕生することとなった。ただし、パイなど、回転体と呼ばれる、ある軸の周りを回転させた立体の体積(大きさ)を求めるにあたっては、双方を組み合わせた手法が使われることがある。この場合も、既に結果が分かっているがゆえに、わざわざ毎度計算するのが面倒だからという理由で、の形にして片付けられることも多いが、いずれにせよ、やはりそもそもパイを求めないことには、話は始まらなかったのである。

逸話[編集 | hide]

ニコラ・テスラは、毎日の食事の体積を積分で算出することを日課にしていたと言われている。よほどのパイ好きだったに違いない。

最後に[編集 | hide]

私は円周率と、変な妄想をしたの顔面に投げつけるにふさわしいパイの話をしているのである。どんな妄想をしているかは、大体想像つくが、決してそっちのことではない。よくよく注意すること。

脚注[編集 | hide]

  1. 半角公式と、と、数学的帰納法を組み合わせて、各自導出するとよい。
  2. なお、半径rが回転中に変化する場合は、極座標の積分と呼ばれ、半径の変化drも考慮する必要が出るため、更に複雑になる。

関連項目[編集 | hide]

  • 微分 - 積分の反対であることが知られている。
  • セブンイレブン - 変な妄想をした人による「微分、積分、いい気分」という格言と韻が被っていたため、これをもじって自らのキャッチコピーにしていたことがある。